Как страховые компании рассчитывают тарифы рационально — а не по наитию? Как государство прогнозирует демографическую ситуацию в стране? Подскажем: здесь людям помогает не фортуна и интуиция, а теория вероятностей. Разберёмся, что это такое и как применяется на практике.

Чтобы рационально спланировать деятельность, рассматривают вероятность наступления чрезвычайного события или получения убытка. Например, при расчёте стоимости ОСАГО учитывается количество аварий, в которых виновен водитель. Чем больше таких случаев зафиксировано, тем выше цена. Подобная закономерность была замечена ещё в XVIII веке, когда английские статистики Джон Граунт и Уильям Петти доказали, что, несмотря на случайные колебания, многие демографические характеристики достаточно устойчивы:  например, соотношение количества новорожденных мальчиков и девочек или процент смертности от несчастных случаев.

Теория вероятностей начала формироваться во второй половине семнадцатого века. Математик-любитель обратился к Паскалю с вопросом: сколько раз нужно бросить игральные кости, чтобы  было выгодно ставить на событие «одновременное выпадение двух шестёрок хотя бы один раз»? Блез Паскаль и Пьер Ферма начали дискуссию насчёт этого вопроса, в ходе которой разобрали множество вариаций. Пьер Ферма сформулировал принцип: вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему количеству возможных случаев.

Разберём задачу. Рон заканчивает второй год обучения в Хогвартсе. Ему нужно выбрать как минимум два необязательных предмета для прохождения на следующем курсе. Предлагается перечень дисциплин: изучение древних рун, магловедение, нумерология, прорицание и уход за магическими существами. Рон уже выбрал уход за магическими существами и думает о втором предмете. Какова вероятность, что выбор падёт на прорицание?

Всего пять дисциплин, одну герой уже выбрал. Значит, остаётся только четыре варианта, один из которых благоприятный — прорицание. Используя принцип Ферма, получаем ответ: ¼ = 0,25.

Паскаль предложил арифметический треугольник, упрощающий расчёт вероятности событий в простых комбинаторных играх. Это таблица чисел, в которой значение ячейки равно сумме значений, стоящих в соседних ячейках сверху. Треугольник Паскаля бесконечен. В качестве примера рассмотрим его первые строки.

Строки нумеруют, начиная с нуля (1 — это нулевая строка, 11 — первая и так далее). Треугольник Паскаля обладает рядом интересных свойств. Каждое число мы принимаем за ячейку, и значение каждой из них равно количеству способов попасть в неё из вершины. С помощью треугольника Паскаля можно находить число сочетаний без повторений: элемент k-го столбца n-й строки равен количеству способов выбрать k элементов из n без учёта повторений. Столбцы нумеруют по диагонали, начиная с нуля. В нулевом всегда будут единицы. Фраза «без повторений» означает, что порядок расположения элементов не важен, а имеет значение только качественный состав.

Рассмотрим пример задачи. Гарри Поттер выбирает сладости для друзей. В магазине есть Берти Боттс, шоколадные лягушки, желатиновые червяки, тыквенное печенье и друбблс. Сколькими способами Гарри может выбрать три вида сладостей?

Герою нужно выбрать три вида сладостей из пяти. Смотрим пятую строку третий столбец треугольника Паскаля (при этом не забываем, что нумерация начинается с нуля). Всего у Гарри десять способов выбрать угощения. Мы находим число сочетаний без повторений, так как нас интересует количество способов выбора, при этом не важен порядок принятия решений. Самое главное — что в наборе.

Некоторые люди пытаются использовать вероятностные методы для выигрыша в лотереях. Например, бразильский математик Ренато Джанелло создал цветной шаблон, который позволяет определить комбинации, имеющие наилучший шанс на выигрыш. Отметим, что методик, гарантирующих стопроцентный выигрыш, не существует. Лотерея — это чистая случайность. Однако, по словам бразильского математика, модели поведения подчиняются вероятностям и, выбрав правильную стратегию игры, можно получить преимущество. Она  основана на закономерностях, предсказанных теорией больших чисел. Исследование проводилось на основе данных двадцати лотерей мира. Учёный утверждает, что не все комбинации номеров имеют одинаковую вероятность выпадения. Его цветовой шаблон помогает предсказать, у каких сочетаний  более высокие шансы на выигрыш. Однако пользователю может понадобиться чуть более глубокое знание математики, чем полученное в школе. Некоторые игроки пытаются использовать счастливые числа, например, последовательности Фибоначчи или те, сумма цифр которых обладает каким-либо свойством. Существуют даже «нумерологии лотереи». Но все эти способы не имеют научной базы. Безусловно, использование гороскопов не запрещено, но необходимо понимать, что это основано на личной вере в успех и не стоит ставить на кон всё, что имеешь, даже если нумерология обещает большую удачу.

Теория вероятностей играет роль и в американском телешоу «Давай заключим сделку». В 1975 году была сформулирована задача, названная парадоксом Монти Холла в честь ведущего. Участнику предлагается выбрать одну из трёх дверей: за двумя из них — коза (проигрыш) и за одной — автомобиль (выигрыш). После выбора игрока ведущий, который знает местонахождение автомобиля, открывает одну из дверей — за ней всегда оказывается коза. Игрок может поменять свой выбор на другую закрытую. Но повышается ли при этом шанс на выигрыш?

Вероятность выбрать одну из дверей равна ⅓. Ведущий открывает одну из тех, на которую не указал игрок. Если человек сразу выбрал вариант, за которым скрыт  приз, то ведущий рассекречивает содержимое любой из двух других. Если была указана дверь с козой, то ведущий открывает ту дверь, за которой второе животное. Вероятность того, что приз за какой-либо из дверей, оставшихся закрытыми, рассчитывается по формуле условной вероятности и различается для разных исходов, так как мы не знаем, что находится за последней дверью — парнокопытное или автомобиль. Пусть игрок указал на ту, за которой коза. Тогда после хода ведущего при смене выбора игрок с вероятностью ⅓ выигрывает. Пусть игрок загадал дверь, за которой автомобиль. Тогда игрок, если сменит дверь, укажет на одну из коз с вероятностью ⅙. Значит, при использовании варианта «заменить дверь» вероятность выпадения козы равна ⅓, а автомобиля ⅔. Таким образом, после анализа полученных данных можно прийти к выводу, что вероятность выигрыша, если игрок передумал, в два раза выше.

Парадокс Монти Холла находит применение и в быту. Например, при медицинской диагностике врач рассматривает три варианта диагнозов, и в ходе обследования один из них отпадает. Теперь, имея новые вводные данные, врач может пересмотреть вероятности диагнозов и, соответственно, назначить лечение. Эту вероятностную задачу любят и режиссёры. В частности в одном из эпизодов «Симпсонов» Лиза Симпсон объясняет парадокс Гомеру с помощью предметов, которые находятся у неё под рукой.

Теория вероятностей — очень интересный и жизненный раздел математики. Несмотря на всю его сложность, он важен для развития многих отраслей: финансовой сферы, работы с большими данными (data science), маркетинга, криптографии, астрономии. Теорию вероятностей можно использовать при игре в лотереи. Главное — помнить, что это случайность, и не пытаться использовать «интересные» последовательности и «нумерологии лотерей», при этом ставя на кон всё, что имеется.